Extremwertaufgaben

Extremwertaufgaben,

 

Extrema mit Nebenbedingungen, Aufgabentyp, bei dem die Lage der möglichen Extremwerte einer abhängigen Variablen f auf ein bestimmtes Intervall beschränkt ist. Kann man diese als differenzierbare Funktion der unabhängigen Variablen x ausdrücken, so lässt sich der Wert von f im Extremwert berechnen. Beispiel: Welches Rechteck mit gegebenem Umfang u hat den größten Flächeninhalt f? Es gilt u = 2x + 2y und f = x · y, woraus folgt: f = ½ ux — x². Die Ableitung von f ist f' = ½ u — 2x; ein Extremwert liegt vor für f' = 0, also für 2x = ½ u oder x = ¼ u. Daraus folgt als Lösung, dass das Quadrat die geforderten Bedingungen erfüllt. Viele Extremwertaufgaben lassen sich aber auch elementar, d. h. ohne die Hilfe der Differenzialrechnung lösen, indem man z. B. den Graphen der Funktion betrachtet. Im obigen Beispiel ist es eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen 0 und ½ u. Aus Symmetriegründen muss daher ein Maximum bei x = ¼ u vorliegen.